Question

已知函數，函數的導函數，且，其中為自然對數的底數．
（1）求的極值；
（2）若，使得不等式成立，試求實數的取值范圍；
（3）當時，對于，求證：．

Answer 1

(1)當時，沒有極值；
當時，存在極大值，且當時，.
(2).
(3)見解析.

解析試題分析：(1) 首先確定函數的定義域為，求導數．為確定函數的極值，應討論，的不同情況.
(2) 首先求出，將問題轉化成，使得成立，
引入，將問題可轉化為：
利用導數求的最大值，得解.
(3)當時，，構造函數，即，
應用導數研究函數的單調性、極值，得到.
方法比較明確，分類討論、轉化與化歸思想的應用，是解決問題的關鍵.
試題解析：(1) 函數的定義域為，．
當時，，在上為增函數，沒有極值；     1分
當時，，
若時，；若時，
存在極大值，且當時，
綜上可知：當時，沒有極值；當時，存在極大值，且當時，                       4分
(2) 函數的導函數，
，，              5分
，使得不等式成立，
，使得成立，
令，則問題可轉化為：
對于，，由于，
當時，，，，
，從而在上為減函數，
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