Question

已知f(x)=

1 x -1

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷并用定義證明函數f（x）的單調性；
（3）求函數f（x）的反函數f^-1（x）；
（4）若對任意滿足x₁+x₂=m的正實數x₁、x₂，不等式f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數有意義，根號里式子必須不小于0，注意x≠0，
（2）設0＜x₁＜x₂≤1，證得f（x₂）-f（x₁）＜0即可，
（3）令y=

1 x -1

，根據反函數的定義解得x與y的關系式，注意反函數的定義域，
（4）根據f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）可得（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²，理解題干可知m=x₁+x₂，然后把把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0，不等式恒成立，解得m的取值范圍．

解答：解：（1）由

1

x

-1≥0得定義域為（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）內單調遞減，證明如下．
設0＜x₁＜x₂≤1，則f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．這就是說函數f（x）在（0，1]上單調遞減．
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），即f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．
（4）由f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m），
化簡得到：（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²．
注意到m=x₁+x₂，以及x₁，x₂＞0代入整理得：x₁x₂＜2．
把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0．
該關于x₁的不等式對于一切（0，m）內的x₁恒成立．
所以(

m

2

)2-m•

m

2

+2＞0．解得0＜m＜2

2

．

點評：本題主要考查反函數的知識點，解答本題的關鍵是會求出一個函數的反函數，本題第（4）問有點難度，但是只要理解題意，解決恒成立問題也比較簡單，本題難度一般．