Question

(本小題15分)
已知函數。
（I）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當函數在區間上的最小值為時，求實數的值；
（Ⅲ）若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍。

Answer 1

（I）因為，由題意   （2分）
  即過點的切線斜率為3，又點
則過點的切線方程為： （5分）
（Ⅱ）右題意令得或 （6分）
由，要使函數在區間上的最小值為，則
（i）當時，
當時，，當時，，
所以函數在區間[0，1]上，
即：，舍去   （8分）
（ii）當時，
當時，，則使函數在區間上單調遞減，
 
綜上所述：                  (10分)
（Ⅲ）設

令得或    （11分）
（i）當時，函數單調遞增，函數與的圖象不可能有三個不同的交點
（ii）當時，隨的變化情況如下表：

				1
	+	0	一	0	+
		極大		極小

欲使與圖象有三個不同的交點，
方程，也即有三個不同的實根
，所以  （13分）
（iii）當時，隨的變化情況如下表：

		1
	+	0	一	0	+
		極大		極小

由于極大值恒成立，故此時不能有三個解
綜上所述        （15分）

略