Question

已知函數f(x)=(

x

+

2

)2(x＞0)，設正項數列a_n的首項a₁=2，前n 項和S_n滿足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表達式；
（2）在平面直角坐標系內，直線l_n的斜率為a_n，且l_n與曲線y=x²相切，l_n又與y軸交于點D_n（0，b_n），當n∈N^*時，記dn=

1

4

|

Dn+1Dn

|-1，若Cn=

d 2 n+1 + d 2 n

2dn+1dn

，求數列c_n的前n 項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn=(

Sn-1

+

2

)2知

Sn

-

Sn-1

=

2

，所以數列{

Sn

}是以

2

為公差的等差數列．由此能求出a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn y=x2

?x2-anx-b n=0，由方程有相等實根，知△=a_n²+4b_n=0，所以bn=-

1

4

an2=-

1

4

(4n-2)2=-（2n-1）²，由此能夠求出T_n．

解答：解：（1）由Sn=(

Sn-1

+

2

)2得：

Sn

-

Sn-1

=

2

，所以數列{

Sn

}是以

2

為公差的等差數列．
∴

Sn

=

2

n，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn y=x2

?x2-anx-b n=0，
據題意方程有相等實根，
∴△=a_n²+4b_n=0，
∴bn=-

1

4

an2=-

1

4

(4n-2)2=-（2n-1）²，
當n∈N⁺時，dn=

1

4

|bn-bn+1|-1=

1

4

|-(2n-1)2+(2n+1)2|-1=2n-1，
∴Cn=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(4n2-1)

=

8n2+2

2(4n2-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=n+(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=n+1-

1

2n+1

=

2n2+3n

2n+1

．

點評：本題考查數列和函數的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．