Question

定義：對(duì)于兩個(gè)雙曲線(xiàn),,若的實(shí)軸是的虛軸，的虛軸是的實(shí)軸，則稱(chēng),為共軛雙曲線(xiàn).現(xiàn)給出雙曲線(xiàn)和雙曲線(xiàn)，其離心率分別為.
（1）寫(xiě)出的漸近線(xiàn)方程（不用證明）；
（2）試判斷雙曲線(xiàn)和雙曲線(xiàn)是否為共軛雙曲線(xiàn)？請(qǐng)加以證明.
（3）求值：.

Answer 1

（1）、；（2）是；（3）1.

解析試題分析：（1）由其圖像很容易知道的漸近線(xiàn)方程即軸和一、三象限的角平分線(xiàn).從而寫(xiě)出
的漸近線(xiàn)方程都是：和；（2）先利用漸近線(xiàn)與實(shí)軸、虛軸間的關(guān)系得到的實(shí)軸所在直線(xiàn)為
與虛軸所在直線(xiàn)為.然后計(jì)算實(shí)軸與雙曲線(xiàn)
的交點(diǎn)，從而得到、 、.同理也可得到的類(lèi)似數(shù)據(jù)，從
而得到證明；（3）由上問(wèn)即可得到，，所以="1" .
試題解析：（1）的漸近線(xiàn)方程都是：和.               3分
（2）雙曲線(xiàn)是共軛雙曲線(xiàn).                            4分
證明如下： 對(duì)于，實(shí)軸和虛軸所在的直線(xiàn)是和的角平分線(xiàn)所
的直線(xiàn)， 所以的實(shí)軸所在直線(xiàn)為，
虛軸所在直線(xiàn)為，                       6分
實(shí)軸和的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.
又，所以 從而得；     8分
同理對(duì)于，實(shí)軸所在直線(xiàn)為，
虛軸所在直線(xiàn)為，
實(shí)軸和的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方
 ，所以，從而得.
綜上所述，雙曲線(xiàn)是共軛雙曲線(xiàn).                             10分
（3） 由（2）易得，，
所以="1" .                                                13分
考點(diǎn)：1.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)；2.共軛雙曲線(xiàn)的定義；3.離心率.