Question

在斜三棱柱中，側面平面，，為中點.

（1）求證：；

（2）求證：平面；

（3）若，，求三棱錐的體積.

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）參考解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證明線面垂直，根據線面垂直的判斷定理，需要證明直線垂直平面內的兩條相交直線，或者用面面垂直的性質定理，轉化為線面垂直在轉到線線垂直的結論，本小題是根據題意，利用第二種方法證明.

（2）線面平面平行的證明，關鍵是在平面內找到一條直線與要證明的直線平行，根據D點是中點，利用中位線的知識可得到直線的平行，所以把直線交點與點D連結即可.線面平行還有一種就是轉化為面面平行.線面平行的證明就是這兩種判斷的相互轉化.

（3）根據體積公式，以及題意很容易確定高以及底面的面積，即可求出體積.

試題解析：（1）證明：因為 ，

所以 ，

又 側面平面，

且 平面平面，

平面，

所以 平面，

又 平面，

所以 .

（2）證明：設與的交點為，連接,

在中，分別為，的中點，

所以 ，

又平面，平面，

所以 平面 .

（3）【解析】
由（1）知，平面，

所以三棱錐的體積為.

又 ，，

所以 ， 所以 .

三棱錐的體積等于.

考點：1.線線垂直的判斷.2.線面垂直的判定.3.線面平行的判斷.4.棱錐的體積公式.5.空間想象能力.