Question

已知函數f(x)=㏑x-ax²+bx(a>0)且導數f‵(x)=0.
（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調區間；
（2）對于函數圖象上不同的兩點A(x₁,y₁)，且x₁<x₂，如果在函數圖像上存在點M(x₀,y₀)（其中x₀∈(x₁,x₂)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“相依切線”.特別地，當時，又稱AB存在“中值相依切線”.試問：在函數f(x)上是否存在兩點A,B使得它存在“中值相依切線”？若存在，求A,B的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：
（1）f‵(x)=-ax+b，f‵(x)=0，∴b=a-1，
f‵(x)==0 ，x₁=-（舍去），x₂=1，
∴函數f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1,+∞)。
（2） 假設存在點M滿足條件,則f‵(x₀)=,整理得:=,
令=t∈(0,1),則問題轉化為方程:㏑t=有根,
設g(t)=㏑t-,g‵(t)=>0,
∴函數g(t)為(0,1)上的單調遞增函數,且g(1)=㏑1-0=0,∴g(t)<0,
所以不存在t使方程㏑t=成立,即不存在點滿足題意。