Question

設是由個實數組成的行列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”.
(Ⅰ) 數表如表1所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）；
表1

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 數表如表2所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數的所有可能值；
表2

(Ⅲ)對由個實數組成的行列的任意一個數表，能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由.

Answer 1

(I) 詳見解析； (II) 或 ；(Ⅲ) 能，理由詳見解析．

解析試題分析：：（I）根據題中一次“操作”的含義，將原數表改變第4列，再改變第2行即可；或者改變第2行，改變第4列也可得（寫出一種即可）；（II）  每一列所有數之和分別為2，0，-2，0，每一行所有數之和分別為-1，1；①如果操作第三列，第一行之和為2a-1，第二行之和為5-2a，列出不等關系解得a，b范圍進而分情況進行第二次操作；②如果操作第一行，易由條件得a的值；（III） 按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和），由負數變為正數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數陣中mn個數之和增加.
解：法1：

法2：

法3：

3分
(II) 每一列所有數之和分別為2，0，，0，每一行所有數之和分別為，1;
①如果首先操作第三列，則

則第一行之和為，第二行之和為，
這兩個數中，必須有一個為負數，另外一個為非負數，
所以 或
當時，則接下來只能操作第一行，

此時每列之和分別為
必有，解得
當時，則接下來操作第二行
 
此時第4列和為負，不符合題意.                                             6分    
② 如果首先操作第一行

則每一列之和分別為，，，
當時，每列各數之和已經非負，不需要進行第二次操作，舍掉
當時，，至少有一個為負數，
所以此時必須有，即，所以或
經檢驗，或符合要求
綜上：                                                     9分
（III）能經過有限次操作以后，使得得到的數表所有的行和與所有的列和均為非負實數。證明如下：
記數表中第行第列的實數為（），各行的數字之和分別為，各列的數字之和分別為，，，數表中個實數之和為，則。記

．
按要求操作一次時，使該行的行和（或該列的列和）由負變正，都會引起（和）增大，從而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，必然小于等于最初的數表中個實數的絕對值之和，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止。終止之時，必是所有的行和與所有的列和均為非負實數，否則，只要再改變該行或該列的符號，就又會繼續上升，導致矛盾，故結論成立。                                13分
考點：推理與證明．