Question

（2012•棗莊二模）已知函數f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直線x=

π

3

是f(x)圖象的一條對稱軸．
（1）試求ω的值：
（2）已知函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移

2π

3

個單位長度得到，若g(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x） 的解析式為2sin（2ωx+

π

6

），根據直線x=

π

3

是f(x)圖象的一條對稱軸，故2sin（2ω•

π

3

+

π

6

）=2，故有 2ω•

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，再由0＜ω＜1，求出ω 的值．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），可得g（x）=2cos

1

2

x．由 g(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，可得 
cos（α+

π

6

）=

4

5

．再由sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]，利用兩角和的正弦公式求得結果．

解答：解：（1）∵函數f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx(0＜ω＜1)，
∴f（x）=cos（2ωx）+

3

sin（2ωx）=2sin（2ωx+

π

6

）．
∵直線x=

π

3

是f(x)圖象的一條對稱軸，故2sin（2ω•

π

3

+

π

6

）=2，即 sin（2ω•

π

3

+

π

6

）=1，
故有 2ω•

π

3

+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，故ω=3k+

1

2

，k∈z．
再由0＜ω＜1，可得-

1

3

＜k＜

1

3

，∴ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），可得g（x）=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）+

π

6

]=2cos

1

2

x．
由 g(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，可得 2cos

1

2

(2α+

π

3

)=

6

5

，故 cos（α+

π

6

）=

4

5

．．
故sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]=sin（α+

π

6

）cos

π

6

-cos（α+

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．