Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長和側棱長都是3，D是側棱CC₁上一點且C₁D=2DC，E是A₁B₁的中點．
（1）求證：AB⊥CE；
（2）求異面直線AD與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB中點F，連接EF、CF．根據(jù)線面垂直的性質證出EF⊥AB，結合正△ABC中，中線CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，從而可得AB⊥CE；
（2）以F點為坐標原點，又FB，F(xiàn)C，F(xiàn)E為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，分別求出異面直線AD與BC的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）取AB中點F，連接EF、CF
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴側面AA₁B₁B是矩形
∵E、F分別是A₁B₁、AB的中點，∴EF∥AA₁，
∵AA₁⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA₁⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中線，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（2）以F點為坐標原點，又FB，F(xiàn)C，F(xiàn)E為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，
∵底面邊長和側棱長都是3，D是側棱CC₁上一點且C₁D=2DC，
∴A（-

3

2

，0，0），B（

3

2

，0，0），C（0，

3 3

2

，0），D（0，

3 3

2

，1）
∴

AD

=（

3

2

，

3 3

2

，1），

BC

=（-

3

2

，

3 3

2

，0），
設直線AD與BC所成角為θ
則cosθ=

| AD • BC |

| AD |•| BC |

=

9 2

3 10

=

3 10

20

即直線AD與BC所成角的余弦值為

3 10

20

點評：本題給出所有棱長都相等的正三棱柱，證明線線垂直及異面直線的夾角，（1）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的相互轉化，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將異面直線的夾角轉化為向量的夾角．