Question

（07年湖南卷文）（13分）

已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅰ）求的最大值；

　（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)A處穿過(guò)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.

Answer 1

解析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，

設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是

，，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是

，即，

因?yàn)榍芯�在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，

所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即．又由，得．故．

解法二：同解法一得

．

因?yàn)榍芯�在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在（）．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則．

所以．又由，得，故．