Question

已知：A，B，C是直線l上的點，O是直線l外一點，且

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，若當x∈[-1，1]時，af（x）-3x+1≥0恒成立，則實數a的值為______．

Answer 1

∵A，B，C是直線l上的點，O是直線l外一點，且

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，
∴f（x）+

f(1)

3

-x³=0，
∴f（1）+

f(1)

3

-1=0，
∴f（1）=

3

4

，
∴f（x）=x³-

1

4

，
∴af（x）-3x+1≥0為a（x³-

1

4

）-3x+1≥0
（1）a=0時，-3x+1≥0在[-1，1]上不能恒成立
（2）a＜0時，f′（x）=3ax²-3＜0，f（x）是減函數，其最小值為f（1）．
若對x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，則需f（1）≥0
即

3

4

a-3+1≥0，
∴a≥

8

3

，
∵a＜0，∴此時無解．
（3）a＞0時，f（x）=a（x³-

1

4

）-3x+1≥0恒成立，x∈[-1，1]，
①x=0時，-

a

4

+1≥0成立，∴a≥4
②0＜x≤1時，a≥

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求導得g′（x）=

-6x+3

x4

易知0＜x＜

1

2

時函數遞增，

1

2

＜x＜1時遞減，
∴g（x）最大值為g（

1

2

）=4，
∴a≥4
③-1≤x＜0時，a≤

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求導得g′（x）=

-6x+3

x4

可知g（x）在-1＜x＜0時是增函數，其最小值為g（-1）=4
∴a≤4
由②知a≥4，
∴a=4．
綜上知a=4．