Question

我們常用定義解決與圓錐曲線有關的問題．如“設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，過左焦點F₁作傾斜角為θ的弦AB，設|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，試證

1

r1

+

1

r2

為定值”．
證明如下：不妨設A在x軸的上方，在△ABC中，由橢圓的定義及余弦定理得，（2a-r₁）²=r₁²+4c²-4cr₁cosθ，∴r1=

b2

a-ccosθ

，
同理r2=

b2

a-ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，于是

1

r

1+

1

r

2=

2a

b2

．請用類似的方法探索：設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，過左焦點F₁作傾斜角為θ的直線與雙曲線右支交于點A，左支交于點B，設|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，是否有類似的結論成立，請寫出與定值有關的結論是______．．

Answer 1

由題意，根據橢圓的定義與雙曲線的定義類比得“設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，過左焦點F₁作傾斜角為θ的直線與雙曲線右支交于點A，左支交于點B，設|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，試證

1

r

1-

1

r

2為定值”，證明如下：
不妨設A在x軸的上方，令在△ABC中，由雙曲線的定義及余弦定理得，（2a+r₁）²=r₁²+4c²+4cr₁cosθ，
∴r1=

b2

a+ccosθ

，
同理r2=

b2

a+ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，
于是

1

r

1-

1

r

2=-

2a

b2

．
故答案為

1

r

1-

1

r

2=-

2a

b2

．