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（理科）一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標；
②求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范圍．
（1）由已知可得：點C到P的距離與到定直線l的距離相等．
所以圓心C的軌跡是以p為焦點，定直線l為準線的拋物線，
∴所求拋物線的方程為：x2=4y．
（2）①設AB：y=kx+b，由
y=kx+b
x2=4y
，消去y得：x2-4kx-4b=0．
∴x1+x2=4k．x1x2=-4b，∵x1x2=-16，
∴b=4，∴直線AB過定點（0，4）．
②由拋物線的定義可知：|PA|=y1+1，|PB|=y2+1，
∴
1
|PA|
+
1
|PB|
=
1
y1+1
+
1
y2+1
=
y1+y2+2
y1y2+y1+y2+1

y1=kx1+4，y2=kx2+4，x1+x2=4k．x1x2=-16，
1
|PA|
+
1
|PB|
=
k(x1+x2)+10
k2x1x2+5k(x1+x2)+25
=
4k2+10
4k2+25
=1-
15
4k2+25
∈[
2
5
，1)，
∴所求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范圍是[
2
5
，1)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，線段AB的兩個端點A、B分別分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=5，點M是AB上一點，且|AM|=2，點M隨線段AB的運動而變化．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）設F1為點M的軌跡的左焦點，F2為右焦點，過F1的直線交M的軌跡于P，Q兩點，求S△PQF2的最大值，并求此時直線PQ的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點P的坐標為（-a，b）．
（1）若直角坐標平面上的點M、A（0，-b），B（a，0）滿足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求點M的坐標；
（2）設直線l1：y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點，交直線l2：y=k2x于點E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點；
（3）對于橢圓┍上的點Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個交點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，寫出求作點P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線頂點在原點，圓x2+y2=4x的圓心是拋物線的焦點，直線l過拋物線的焦點，且斜率為2，直線l交拋物線與圓依次為A、B、C、D四點．

（1）求拋物線的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線準線與x軸交于C點，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的值為（　�。�
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
2
+
y2
=1上的點到直線2x-y=7距離最近的點的坐標為（　　）
A．（-
4
3
，
1
3
）		B．（
4
3
，-
1
3
）		C．（-
4
3
，
17
3
）		D．（
4
3
，-
17
3
）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+1與曲線x=
1-4y2
有兩個不同的交點，則k的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線E的漸近線方程為y=±
4
3
x，且經過點(2
3
，
4
3
3
)
（1）求雙曲線E的方程；
（2）F1，F2為雙曲線E的兩個焦點，P為雙曲線上一點，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大�。�

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，長軸端點與短軸端點間的距離為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點E，F，O為坐標原點，若OE⊥OF，求直線l的斜率．

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同步練習冊答案