Question

（2011•臨汾模擬）數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不為0的常數，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

an-c

n•cn

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，（2+c）²=2（2+3c）可求c，代入可得a_n+1=a_n+2n，利用疊加可求通項
（2）由b_n=

an-c

n•cn

=

an-2

n•2n

=

n-1

2n

，考慮利用錯位相減可求和

解答：解：（1）由已知可知a₂=2+c，a₃=2+3c（1分）
則（2+c）²=2（2+3c）
∴c=2
從而有a_n+1=a_n+2n（2分）
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+a₃-a₂+…+（a_n-a_n-1）
=2+2×1+2×2+…+2n=n²-n+2（4分）
當n=1時，a₁=2適合上式，因而a_n=n²-n+2（5分）
（2）∵b_n=

an-c

n•cn

=

an-2

n•2n

=

n-1

2n

（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

0

2

+

1

22

+…+

n-2

2n-1

+

n-1

2n

1

2

Tn=

0

22

+

1

23

+…+

n-2

2n

+

n-1

2n+1

相減可得，

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n-1

21+n

=

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n-1

2n+1

（9分）
∴Tn=1-

n+1

2n

（10分）

點評：本題主要考查了利用疊加法求解數列的通項公式，而錯位相減求解數列的和是數列求和的重點和難點，要注意掌握