Question

本小題滿分16分）設不等式組所表示的平面區域為，記內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為
（1）求的值及的表達式；
（2）記，試比較的大小；若對于一切的正整數，總有成立，求實數的取值范圍；
（3）設為數列的前項的和，其中，問是否存在正整數，使成立？若存在，求出正整數；若不存在，說明理由.

Answer 1

⑴
⑵中的最大值為
要使對于一切的正整數恒成立，只需∴
⑶存在正整數使成立.

解析試題分析：（1）據可行域，求出當x=1，x=2時，可行域中的整數點，分別求出f（1），f（2），f（n）．
（2）求出 ，據它的符號判斷出Tn的單調性，求出Tn的最大值，令m大于等于最大值即可．
(3) 因為,
然后可由，得，,再分t=1和t>1兩種情況進行研究即可．
⑴
當時，取值為1，2，3，…，共有個格點
當時，取值為1，2，3，…，共有個格點
∴
⑵ 
當時，
當時，
∴時，
時，
時，
∴中的最大值為
要使對于一切的正整數恒成立，只需∴
⑶
將代入，化簡得，（﹡）
若時，顯然
若時（﹡）式化簡為不可能成立
綜上，存在正整數使成立.
考點：二元一次不等式組表示平面區域，函數的數列特性，數列與函數的綜合.
點評：解本小題的關鍵是正確作出可行域，然后得出f(n)=3n，這也是解決本小題的前提．
然后利用研究函數的單調性的方法研究數列的單調性，研究有關數列不等式恒成立問題．