Question

（07年湖北卷理）（14分）

已知為正整數，

（I）用數學歸納法證明：當時，；

（II）對于，已知，求證：，；

（III）求出滿足等式的所有正整數．

Answer 1

本小題主要考查數學歸納法、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．

解析：解法1：（Ⅰ）證：用數學歸納法證明：

（）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊，

因為，所以左邊右邊，原不等式成立；

（）假設當時，不等式成立，即，則當時，

，，于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以．即當時，不等式也成立．

綜合（）（）知，對一切正整數，不等式都成立．

（Ⅱ）證：當時，由（Ⅰ）得，

于是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當時，

，

．

即．即當時，不存在滿足該等式的正整數．

故只需要討論的情形：

當時，，等式不成立；

當時，，等式成立；

當時，，等式成立；

當時，為偶數，而為奇數，故，等式不成立；

當時，同的情形可分析出，等式不成立．

綜上，所求的只有．

解法2：（Ⅰ）證：當或時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明：

當，且時，，．　　①

（）當時，左邊，右邊，因為，所以，即左邊右邊，不等式①成立；

（）假設當時，不等式①成立，即，則當時，

因為，所以．又因為，所以．

于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以．即當時，不等式①也成立．

綜上所述，所證不等式成立．

（Ⅱ）證：當，時，，，

而由（Ⅰ），，

．

（Ⅲ）解：假設存在正整數使等式成立，

即有．　　　　　②

又由（Ⅱ）可得

，與②式矛盾．

故當時，不存在滿足該等式的正整數．

下同解法1．