Question

)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD＝1，CD＝3，PD＝.

(1)證明：△PBC為直角三角形；

(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：取AC中點E，聯結BE，以點E為坐標原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系E－xyz，則B(，0，0)，C(0，2，0)，P(0，－1，)．

于是＝(－，－1，)，＝(－，2，0)．

因為·＝(－，－1，)·(－，2，0)＝0，所以⊥，

所以BP⊥BC，所以△PBC為直角三角形．

(2)由(1)可得，A(0，－2，0)．

于是＝(0，1，)，＝(，1，－)，＝(0，3，－)．

設平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，

則即

取y＝1，則z＝，x＝.

所以平面PBC的一個法向量為n＝(，1，)．

設直線AP與平面PBC所成的角為θ，

則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，

所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.