Question

已知二次函數h(x)=ax²+bx+c(其中c<3)，其導函數的圖象如圖，f(x)=6lnx+h(x)

（1）求f(x)在x=3處的切線斜率；

（2）若f(x)在區間(m,m+)上是單調函數，求實數m的取值范圍；

（3）若對任意k∈[-1,1]，函數y=kx(x∈(0,6])的圖象總在函數y＝f(x)圖象的上方，求c的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）0；（2）實數m的取值范圍為；（3）c的取值范圍

【解析】

試題分析：（1）首先根據導函數的圖象可得導函數的解析式，從而求得中的，然后再求的導數，由此可得f(x)在點處的切線斜率 （2）,這里并不含參數，可以求出它的單調區間 要使 f(x)在區間(m,m+)上是單調函數，只需(m,m+)在的單調區間內即可，然后通過解不等式即得m的取值范圍；

（3）函數y=kx(x∈(0,6])的圖象總在函數y＝f(x)圖象的上方，則恒成立 分離參數得，在恒成立，又因為k∈[-1,1]，所以 

然后利用導數求的最大值，再解不等式即可求得c的取值范圍

試題解析：（1） 

又的圖象過點（0，－8），（4，0），所以，

于是，

故，

∴f(x)在點處的切線斜率為              3分

（2）由，列表如下：

x	(0,1)	1	(1, 3)	3	(3,+∞)
	+	0	－	0	+
f(x)	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以f(x)的單調遞增區間為（0，1）和（3，+∞）,f(x)的單調遞減區間為(1,3)

因為是單調函數，

故實數m的取值范圍為                    8分

（3）由題意知：恒成立

在恒成立

恒成立       9分

令 

令則

內遞減，

 時，在時在內遞增，

所以當

即，又內遞增

         12分

恒成立，

                 14分

考點：導數與不等式