Question

已知數列{a_n}中a₁=

3

5

，an=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），數列 {b_n}，滿足b_n=

1

an-1

（n∈N^*），
（1）求證數列 {b_n}是等差數列；
（2）若s_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）是否存在a與b∈Z，使得：a≤s_n≤b恒成立．若有，求出a的最大值與b的最小值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中b_n=

1

an-1

，a_n=2-

1

an-1

，我們易得到b_n-b_n-1=1，再由a₁=

3

5

，求出數列{b_n]是首項b₁，后即可得到數列{b_n]是等差數列；
（2）由（1）中的結論，我們可得a_n-1=

1

n- 7 2

，由此可將S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），進行化簡，構造設函數 y=

1

x- 5 2

，討論函數的單調性后，易得到當n=2時，S_n取最大值，即可得到結果．

解答：解：（1）由題意知b_n=

1

an-1

，∴b_n-b_n-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1（n∈N*），
∴數列{b_n]是首項為b₁=

1

a1-1

=-

5

2

，公差為1的等差數列．
（2）依題意有．a_n-1=

1

n- 7 2

S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）=-

2

5

-

1

n- 5 2

，
設函數 y=

1

x- 5 2

，則函數在（

5

2

，+∞）上為減函數．
S_n在[3+∞）上是遞增，且S_n＜-

2

5

，故當n=3時，且S_n=-

2

5

-

1

n- 5 2

，取最小值-

12

5

．
而函數 y=

1

x- 5 2

在（-∞，

5

2

）上也為減函數，S_n在（1，2]上是遞增，且S_n＞-

2

5

，
故當n=2時，S_n取最大值：S₂=

8

5

．S_n的最大值為

8

5

．
a的最大值與b的最小值分別為-3，2

點評：本題考查的知識點是等差關系的確定及數列的函數特征，在求數列的最大項及數列前n項和的最大值時，我們常借助函數的性質進行分析，但要注意數列是自變量為正整數的特殊函數，故滿足條件的n值，均應為正整數．