Question

（本小題滿分12分）
設函數．
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．  

Answer 1

（1）函數的單調遞增區間為．（2）．

本題考查導數的工具作用，考查學生利用導數研究函數的單調性的知識．考查學生對方程、函數、不等式的綜合問題的轉化與化歸思想，將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，屬于綜合題型．
（1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調遞增區間即為f'（x）＞0的x的取值區間；
（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數a的取值范圍．
方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數a的不等式組進行求解
解：（1）函數的定義域為，………………………………………………1分
∵，     ………………………………………2分
∵，則使的的取值范圍為，
故函數的單調遞增區間為．       ……………………………………………4分
（2）方法1：∵，
∴．      …………………………6分
令，              
∵，且，
由．
∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，     ……………………8分
故在區間內恰有兩個相異實根      ……10分
即解得：．
綜上所述，的取值范圍是．      ………………………………12分
方法2：∵，
∴．      …………………………6分
即，
令， ∵，且，
由．
∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．……………………8分
∵，，，
又，
故在區間內恰有兩個相異實根．
……………………………………10分
即．
綜上所述，的取值范圍是．  ……………………………12分