Question

在平面幾何中有如下結論：正三角形ABC的內切圓面積為S₁，外切圓面積為S₂，則 

s1

s2

=

1

4

，推廣到空間可以得到類似結論，已知正四面體P-ABC的內切球體積為V₁，外接球體積為V₂，則 

v1

v2

=（　　）

• A．

  1

  8

• B．

  1

  9

• C．

  1

  27

• D．

  1

  64

Answer 1

分析：平面圖形類比空間圖形，二維類比三維得到，類比平面幾何的結論，確定正四面體的外接球和內切球的半徑之比，即可求得結論．

解答：解：從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，
如圖，設正四面體的棱長為a，則AE=

3

3

a，DE=

6

3

a
設OA=R，OE=r，則R2=(

6

3

a-R)2+(

3

3

a)2
∴R=

6

4

a，r=

6

12

a
∴正四面體的外接球和內切球的半徑之比是 3：1
故正四面體P-ABC的內切球體積為V₁，外接球體積為V₂之比等于

1

27

故選C

點評：本題考查類比推理，考查學生的計算能力，正確計算是關鍵．