Question

把正偶數數列{2n}中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下圖“三角形”數表所示．設a_ij(i，j∈N^*)是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數．

(Ⅰ)若a_mn=2006，求m、n的值；

(Ⅱ)已知函數f(x)的反函數為f^-1(x)=8ⁿx³+n(x＞0)，若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為b_n，求數列{f(b_n)}的前n項和S_n.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵三角形數表中前m行共有1+2+3+…+m=個數，

∴第m行最后一個數應當是所給數列中的第項．

故第m行最后一個數是2·=m²+m

因此，使得a_mn=2006的m是不等式m²+m≥2006的最小正整數解．

由m²+m≥2006得m²+m-2006≥0

∴m≥=44

∴m=45

于是，第45行第一個數是44²+44+2=1 982

∴n=+l=13

(Ⅱ)∵f^-1(x)=8ⁿx³+n=y(x＞0)，

∴x=．故f(x)= (x＞0)

∵第n行最后一個數是n²+n，且有n個數，若將n²+n看成第n行第一個數，

則第n行各數成公差為-2的等差數列，

故b_n=n(n²+n)+(-2)=n³+n．

∴f(b_n)=

故S_n=

∵,

兩式相減得：

S_n=+（）²+（）³+…+（）ⁿ-n（）ⁿ⁺¹=

=1-（）ⁿ-n（）ⁿ⁺¹

∴S_n=2-（n+2）（）ⁿ