Question

把正偶數數列{2n}中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數表：
設a_ij（i，j∈N*）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數．
（1）若a_mn=2008（已知45×46=2070，44×45=1980），求m，n的值；
（2）若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為b_n，已知cn=

2 [ 3]bn-n+1

2n

，（n∈N^*）求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由題義正偶數a_n為等差數列，由圖擺放找每一行所放的數，及每一行的數字總數與本數列的每一項的關系即可發現規律，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整數解．
（II）若將n²+n看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，求出b_n，從而求出c_n，根據通項公式的特點，最后利用錯位相消法求出數列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（I）∵三角形數表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

個數，
∴第m行最后一個數應當是所給偶數數列中的第

m(m+1)

2

項．
故第m行最后一個數是2•

m(m+1)

2

=m2+m（2分）
因此，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整數解．
∵f（x）=x²+x在（0，+∞）上是增函數，又∵45×46＞2008＞44×45∴m=45
于是，第45行第一個數是44²+44+2=1982∴n=

2008-1982

2

+1=14 （5分）
（II）∵第n行最后一個數是n²+n，且有n個數，若將n²+n看成第n行第一個數，
則第n行各數成公差為-2的等差數列，故bn=n(n2+n)+

n(n-1)

2

(-2)=n3+n．
∴cn=

2 3 n3+n-n +1

2 n

=

2n+1

2n

（6分）
故Sn=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+…+(2n+1)(

1

2

)n
∵

1

2

Sn=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n+1)(

1

2

)n+1，
兩式相減得：

1

2

Sn=3×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+2×(

1

2

)n-(2n+1)•(

1

2

)n+1
∴Sn=5-(2n+5)•

1

2n

（8分）

點評：此題重點考查了等差數列的通項公式，任意兩項之間及項與項數之間的關系，以及錯位相減法進行求和，另外還考查了學生的觀察與分析能力，屬于中檔題．