Question

已知f(x)=xlnx，g(x)=

1

2

x2-x+a
（1）當a=2時，求函數y=g（x）在[0，3]上的值域
（2）求函數f（x）在[t，t+2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入g（x），對g（x）進行求導，利用導數研究函數g（x）在閉區間[0，3]上的最值，從而求解；
（2）對f（x）進行求導，研究其單調性，再對t進行討論，求出函數f（x）在[t，t+2]上的最小值．

解答：解：（1）∵已知f(x)=xlnx，g(x)=

1

2

x2-x+a，a=2
∴g（x）=

1

2

x2-x+2，可得g′（x）=x-1，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）為增函數；
若x＜1，g′（x）＜0，g（x）為減函數；
f（x）在x=1處取得極小值，也是最小值，f（x）_min=f（1）=

1

2

-1+2=

3

2

；
f（0）=2，f（3）=

9

2

-3+2=

7

2

，
∴函數y=g（x）在[0，3]上的值域為[

3

2

，

7

2

]；
（2）∵f′（x）=1+lnx（x＞0），令f′（x）=0，可得x=

1

e

，
若x＞

1

e

時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
若0＜x＜

1

e

時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；t＞0
若0＜t≤

1

e

時，因為區間長度為2，可以取到極小值點x=

1

e

，也是最小值點，
∴f（x）_min=f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

；
若t＞

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上為增函數，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴綜上：若0＜t≤

1

e

，f（x）_min=

1

e

；
若t＞

1

e

時，f（x）_min=tlnt；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的最值問題，解題的過程中用到了分類討論的數學思想，此題是一道中檔題；