Question

已知鈍角△ABC中，AB=2，AC=1，△ABC的面積為

3

2

，則

AB

•

AC

的值為（　　）

A．2

B．-2

C．4

D．-1

Answer 1

分析：由三角形的面積公式，列式算出sinA=

3

2

，得到A=

π

3

或

2π

3

．當A=

π

3

時，利用余弦定理算出BC=

3

，從而證出
C=

π

2

，與已知條件△ABC為鈍角三角形矛盾．由此可得A=

2π

3

，利用數量積的公式加以計算，可得

AB

•

AC

的值．

解答：解：∵△ABC中，AB=2，AC=1，△ABC的面積為

3

2

，
∴S=

1

2

AB×ACsinA=

3

2

，即

1

2

×2×1×sinA=

3

2

，
解之得sinA=

3

2

，結合A∈（0，π）可得A=

π

3

或

2π

3

∵當A=

π

3

時，BC=

AB2+AC2-2AB•ACcosA

=

3

，
∴此時cosC=

AC2+BC2-BC2

2AC•BC

=

3+1-4

2× 3 ×1

=0，得C=

π

2

，
這與△ABC為鈍角三角形矛盾，可得A=

π

3

不符合題意．
因此A=

2π

3

，可得

AB

•

AC

=

|AB|

•

|AC|

cosA=2×1×cos

2π

3

=-1．
故選：D

點評：本題給出鈍角三角形的兩邊和面積，求數量積

AB

•

AC

的值．著重考查了數量積計算公式、余弦定理、三角形的形狀判斷和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．