Question

在某平面上，有4個村莊恰好坐落在邊長為2 km的正方形頂點上，為此需要建立一個使得任何2個村莊都可有通道的道路網．請你合理設計一個道路網，使它的總長度不超過5.5 km(取＝1.414 2，＝1.732 1)．

Answer 1

答案：
解析：

解：設四個村莊分別為A、B、C、D． 　　(1)沿正方形四條邊ABCDA修筑道路網，總長度為8 km，不合要求 　　(2)連結兩條對角線可作通道，其總長是＞5.5，也不合要求 　　(3)由平面幾何的知識知道，在正方形ABCD所在平面內任了取一點P(如圖所示)，連結PA、PB、PC、PD所修建的道路網，當P點重合于O時，道路網最短，即PA＋PB＋PC＋PD≥AC＋BD＝ 　　(4)要減少總長度，就必須增加公共部分，注意應用正方形既有軸對稱，又有中心對稱的性質，在平面ABCD上取兩點E、F，并通過中心O修一條公共道 路EF(如圖所示)使EF⊥AD，OE＝OF＝x(0≤x≤1)，則道路網的總長度為y，且y＝2x＋． 　　因為y≤5.5，得2x＋≤5.5．化簡，得48x2－40x＋7≤0，解得≤x≤． 　　此時，x∈［0，1］，據此可有無數種道路網設計方案滿足要求． 　　分析：這是一道策略開放題，題目給出了實際問題的情景(條件)和基本要求(結論)，要求考生根據題意對一些常見的可能設計進行列舉、計算、取舍，然后逐漸逼近題目的合理解法． 　　點評：根據方案(4)，我們可以算出y的最小值，即最佳設計方案． 　　由y＝2x＋ 　　得(y－2x)2＝()2 　　所以y2－4xy＋4x2＝16＋16－32x＋16x2 　　即12x2－2(8－y)x＋(32－y2)＝0 　　由△＝16(8－y)2－48(32－y2)≥0 　　得y2－4y－8≥0．又因為y＞0， 　　所以y≥2(1＋)，當y＝2(1＋)時，x＝． 　　即x＝時，ymin＝2(1＋)≈5.4642 km．