Question

四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，有多少種不同的取法？

(2)四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法？

Answer 1

(1)(直接法)如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面共有種取法，含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法.根據分類計數原理，知與頂點A共面三點的取法有+3=33種.

(2)(間接法)如圖，從10個頂點中取4個點的取法有種，除去4點共面的取法種數可以得到結果.從四面體同一個面上的6個點中取出的4點必定共面，有=60種.四面體的每一棱上3點與相對棱中點共面，共有6種共面情況.從6條棱的中點中取4個點時有3種共面情形(對棱中點連線兩兩相交且互相平分)，故4點不共面的取法為-(60+6+3)=141種.

解析:

四點共面問題需明確滿足何條件的四點共面.