Question

已知兩點P(－2，2)、Q(0，2)以及一條直線l:y=x，設長為的線段AB在直線l上移動，求直線PA和QB的交點M的軌跡方程.

Answer 1

解:∵線段AB在直線l:y=x上，且線段AB的長為,

∴設M(x，y)，A(t，t)，B(t＋1，t＋1)(t為參數)，則

直線PA的方程為y－2=(x＋2)(t≠－2),                                                             ①

直線QB的方程為y－2=x(t≠－1).                                                                     ②

∵M(x，y)是直線PA、QB的交點,

∴x、y是由①、②組成的方程組的解,由①、②消去參數t，得x²－y²＋2x－2y＋8=0. ③

當t=－2時，PA的方程為x=－2，QB的方程為3x－y＋2=0，此時的交點為M(－2，－4).

當t=－1時，QB的方程為x=0，PA的方程為3x＋y＋4=0，

此時的交點為M(0，－4).

經驗證，點(－2，－4)和(0，－4)均滿足方程③.

故點M的軌跡方程為x²－y²＋2x－2y＋8=0.

點評:若不設參數,利用弦長公式來具體表示|AB|=,計算煩瑣,不可取.應注意在變形過程中對參數的限制,做到過程中限之有理,答案準確無誤.

弦長的巧妙轉化、參數的設置與消去、特殊點的舍與補、交點的應用都體現了數形結合、等價轉化等數學思想方法.