Question

已知兩點P（-2，2）、Q（0，2）以及一條直線l:y=x，設長為的線段AB在直線l上移動，求直線PA和QB的交點M的軌跡方程.?

 

Answer 1

解析:∵線段AB在直線l:y=x上，且線段AB的長為,?

∴設M（x，y）、A(t，t)、B(t+1，t+1)(t為參數)，則直線PA的方程為

(t≠-2),①

直線QB的方程為(t≠-1).②

∵M(x，y)是直線PA、QB的交點,

∴x、y是由①②組成的方程組的解,由①②消去參數t，得x²-y²+2x-2y+8=0.③

當t=-2時，PA的方程為x=-2，QB的方程為3x-y+2=0，此時的交點為M（-2，-4）.

當t=-1時，QB的方程為x=0，PA的方程為3x+y+4=0，此時的交點為M(0，-4).

經驗證，點(-2，-4)和(0，-4)均滿足方程③.

故點M的軌跡方程為x²-y²+2x-2y+8=0.

溫馨提示:由于長為的線段AB在直線l上移動，故只需借助參數表示出A、B的坐標，從而得直線PA、QB的方程，而M是這兩直線的交點，消去參數即得交點的軌跡方程.