Question

已知函數R）.
（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；
（2）在（1）條件下，求函數的單調區間和極值；
（3）當，且時，證明：

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

解析試題分析：（1）欲求a的值，根據在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可得．
（2）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，最后求出極值即可．
（3）由（2）知，當a=1時，函數f(x)＝，在[1，+∞）上是單調減函數，且f(1)＝＝1，從而證得結論．.
試題解析：解：（1）函數
所以又曲線處的切線與直線平行，所以             4分；
（2）令
當x變化時，的變化情況如下表：

	+	0	—
		極大值

由表可知：的單調遞增區間是，單調遞減區間是
所以處取得極大值，       8分；
（3）當由于
只需證明
令
因為，所以上單調遞增，
當即成立。
故當時，有          12分；
考點：1.利用導數研究函數的極值；2.利用導數研究函數的單調性；3.利用導數研究曲線上某點切線方程．