Question

如圖，將圓分成n個區域，用3種不同顏色給每一個區域染色，要求相鄰區域顏色互異，把不同的染色方法種數記為a_n.

（1）        ；
（2）        .

Answer 1

（1）18；（2）.

試題分析：（1）設三種不同顏色分別為甲、乙、丙三種.時，第1區域有3種選擇， 第2區域有2種選擇，第3區域有2種選擇，因為第4區域要與第1區域顏色不同，故對第3區域的選擇分類討論：當第3區域與第1區域顏色相同時，第4區域有2種選擇；當第3區域與第1區域顏色不同時，第4區域僅有1種選擇.所以；（2）當將圓分成n個區域，用3種不同顏色給每一個區域染色時，第1區域有3種染色方案，第2區域至第區域有2種染色方案.此時考慮第區域也有2種涂色方案，在此情況下有兩種情況：
情況一：第區域與第1區域同色,此時相當將這兩區域重合，這時問題轉化為3種不同顏色給圓上個區域涂色,即為種染色方案；
情況二：第區域與第1區域不同色,此時問題就轉化為用3種不同顏色給圓上個區域染色,且相鄰區域顏色互異，即此時的情況就是.根據分類原理可知，且滿足初始條件：.
即遞推公式為，由變形得，所以數列是以-1為公比的等比數列.所以，即.當時，易知有3種染色方法，即，不滿足上述通項公式；當時，易知有種染色方法，即，滿足上述通項公式；當時，易知有種染色方法，即，滿足上述通項公式.
綜上所述，.