Question

（2012•門頭溝區一模）已知函數f（x）=x³+ax²+bx-1在x=1處有極值-1．
（ I）求實數a，b的值；
（ II）求函數g（x）=ax+lnx的單調區間．

Answer 1

分析：（I）已知函數f（x）=x³+ax²+bx-1，對其進行求導，因為函數f（x）=x³+ax²+bx-1在x=1處有極值-1，可得f（1）=-1，f′（1）=0，從而求出a，b；
（ II）先求出函數的g（x）的定義域，對其進行求導，利用導數研究去單調區間，從而求解；

解答：解（ I）∵函數f（x）=x³+ax²+bx-1
求導，得 f'（x）=3x²+2ax+b…（2分）
由題意

f(1)=-1 f′(1)=0

，解得a=-2，b=1…（6分）
（ II）函數g（x）=ax+lnx的定義域是{x|x＞0}，…（9分）
g′(x)=-2+

1

x

…（11分）
解-2+

1

x

＞0且{x|x＞0}，得0＜x＜

1

2

，
所以函數g（x）在區間(0，

1

2

)上單調遞增；…（12分）
解-2+

1

x

＜0得x＞

1

2

，
所以函數g（x）在區間(

1

2

，+∞)上單調遞減．…（13分）

點評：此題主要考查函數在某點的極值，利用導數研究函數的單調性，這是高考必考的考點，此題是一道中檔題；