Question

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．

（Ⅱ）函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

【解析】

試題分析：（Ⅰ） ，

．                      2分

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；            3分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；          4分

∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．            5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)． 可設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為：，即．                                

由 ，可得，當(dāng)時(shí)恒成立．

，     由，得．             6分

下面證明 ，當(dāng)時(shí)恒成立．

令，則

，

當(dāng)時(shí)，．                 8分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．             10分

從而 ，即 恒成立．

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．            12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線切線的斜率，等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。本題涉及“新定義”及存在性探究問(wèn)題，在理解“新定義”的基礎(chǔ)上，將存在性問(wèn)題的探究，轉(zhuǎn)化成函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，從而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的單調(diào)性、明確函數(shù)的極值，達(dá)到解題目的。