Question

（14分）若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱(chēng)直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

(1)求的極值；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：(1) ， ．

 當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．…………6分

(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，

則，

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．

 ∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．…………………14分

解法二： 由(1)可知當(dāng)時(shí)， (當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)) ．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得和恒成立，

令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．

因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立

， 由，得．

 

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．令，

 

【解析】略