Question

（本小題滿分14分）
已知數列中，,, 為該數列的前項和，且.
(1)求數列的通項公式；
（2）若不等式對一切正整數都成立，求正整數的最大值，并證明結論．

Answer 1

(1) ；
(2).當時，，即，所以．而是正整數，所以取。

本試題主要是考查了數列的通項公式的求解，和數列與不等式的綜合運用。
（1）根據的，得到前n項和與通項公式的的關系，然后整體化簡求解得到其通項公式的求解。
（2）不等式對一切正整數都成立，可以從特殊值入手，求解參數a的范圍，然后分析得到結論。
解：(1) 
     ………1分
    又            ………3分
構成以2為首項，以1為公差的等差數列。
                               ………6分
(2).當時，，即，      
所以．                                     ………7分
而是正整數，所以取，下面用數學歸納法證明：．
（1）當時，已證；                      ………8分
（2）假設當時，不等式成立，即．   ………9分
則當時，
有
 ………11分
因為
即>       所以．
所以當時不等式也成立．          
由（1）（2）知，對一切正整數，都有，………13分
所以的最大值等于25．          ………14分