Question

（滿分12分）設函數．
（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；
（II）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）函數的單調遞增區間為．（2）．

試題分析：（1）函數的定義域為，
∵，  
∵，則使的的取值范圍為，
故函數的單調遞增區間為．  
（2）方法1：∵，
∴．
令，              
∵，且，
由．
∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，
故在區間內恰有兩個相異實根    
即解得：．
綜上所述，的取值范圍是 
方法2：∵，
∴．
即，
令， ∵，且，
由．
∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．
∵，，，
又，
故在區間內恰有兩個相異實根．
即．
綜上所述，的取值范圍是．
點評：中檔題，導數的應用是高考必考內容，思路往往比較明確根據導數值的正負，確定函數的單調性。對于方程解的討論，本解法提供了“數形結合法”和“導數法”兩種方法，都說明要充分研究函數的圖象特征，利用函數的圖象特征解題。本題涉及到了對數函數，應特別注意函數的定義域。