Question

如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠DAB=90°，面PAC⊥平面ABCD，PA=PC=AB=BC=

1

2

AD，M是PD的中點．
（1）求證：MC∥平面PAB；
（2）求CM與平面PBC所成角的正弦值；
（3）已知點Q是棱PD上的一點，若二面角Q-AC-D為45°，求

PQ

QD

．

Answer 1

分析：過點A作底面ABCD的垂線，由∠DAB=90°，以A為原點建立空間直角坐標系，設PA=2，則B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(1，1，

2

)．
（1）由M為PD中點，知M(

1

2

，

5

2

，

2

2

)，所以

CM

=(-

3

2

，

1

2

，

2

2

)，

AB

=(2，0，0)，

AP

=(1，1，

2

)，設

CM

=x

AB

+y

AP

，得到

CM

=-

AB

+

1

2

AP

，由此能夠證明CM∥平面PAB．
（2）

BC

=(0，2，0)，

BP

=(-1，1，

2

)，設平面PBC的法向量為

n

=(x，y，z)，由

2y=0 -x+y+z 2 =0

，得

n

=(

2

，0，1)，由此能求出CM與平面PBC所成角的正弦值．
（3）設

PQ

PD

=λ，λ∈（0，1），則

AQ

=

AP

+λ

PQ

=(1-λ，1+3λ，

2

(1-λ))

AC

=(2，2，0)，設平面QAC的法向量為

m

=(x′，y′，z′)，由

2x′+2y′=0 (1-λ)x′+(1+2λ)y′+z′ 2 (1-λ)=0

，得

m

=(1，-1，

2 2 λ

1-λ

)，
平面ABCD的法向量

k

=(0，0，1)，由二面角Q-AC-D為45°，能求出

PQ

QD

=

1

2

．

解答：解：過點A作底面ABCD的垂線，
又∵∠DAB=90°
∴可以A為原點建立空間直角坐標系，如圖所示
取AC中點H，
∵PA=PB，∴PH⊥AC，
∵面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC
∴PH⊥平面ABCD
不妨設PA=2，則由已知條件可得：B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(1，1，

2

)．
（1）證明：∵M為PD中點，
∴M(

1

2

，

5

2

，

2

2

)，
∴

CM

=(-

3

2

，

1

2

，

2

2

)，

AB

=(2，0，0)，

AP

=(1，1，

2

)，
設

CM

=x

AB

+y

AP

，
則

- 3 2 =2x+y 1 2 =y 2 2 =y 2

，∴

x=-1 y= 1 2

，
∴

CM

=-

AB

+

1

2

AP

，
∴

CM

∥平面PAB，
∵CM?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2）

BC

=(0，2，0)，

BP

=(-1，1，

2

)，
設平面PBC的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

BC

•

n

=0，

BP

•

n

=0可得

2y=0 -x+y+z 2 =0

，
可得一個法向量

n

=(

2

，0，1)．
設CM與平面PBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

CM

，

n

＞|=

CM • n

| CM || n |

=

2

3

．
（3）設

PQ

PD

=λ，λ∈（0，1），
則

AQ

=

AP

+λ

PQ

=(1-λ，1+3λ，

2

(1-λ))

AC

=(2，2，0)，
設平面QAC的法向量為

m

=(x′，y′，z′)，
由

AC

•

m

=0，

AQ

•

m

=0得

2x′+2y′=0 (1-λ)x′+(1+2λ)y′+z′ 2 (1-λ)=0

，
可得一個法向量

m

=(1，-1，

2 2 λ

1-λ

)，
平面ABCD的法向量

k

=(0，0，1)，
由二面角Q-AC-D為45°可得

2

2

=|cos＜

m

，

k

＞|，
即

8λ2 (1-λ)2

2+ 8λ2 (1-λ)2

=

1

2

，
解得λ=

1

3

，或λ=-1（舍）．
所以

PQ

PD

=

1

3

，
所以

PQ

QD

=

1

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，直線與平南所成角的正弦值的求法和二面角的應用，考查考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，注意向量法的靈活運用．