Question

已知圓A過點，且與圓B：關于直線對稱.

(1)求圓A的方程；

(2)若HE、HF是圓A的兩條切線，E、F是切點，求的最小值。

(3)過平面上一點向圓A和圓B各引一條切線,切點分別為C、D，設，求證：平面上存在一定點M使得Q到M的距離為定值，并求出該定值.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3)

【解析】

試題分析：(1)求圓的方程即找到圓心和半徑. 由圓的標準方程可看出圓B的圓心, 圓A 與圓B 關于直線對稱可求出圓A的圓心.再由圓A 通過過點通過兩點距離公式求出半徑可求出圓A的標準方程.

(2) 求的最小值最好用一個變量來表示, 表示長度和夾角都與長度有關,所以設,則由切割弦定理得,在直角三角形中,則由二倍角公式可得,由數量積公式得,利用均值定理可求出最小值.

(3)切線長用到點距離和半徑表示出來，再根據得到關于一個方程可知軌跡是一個圓，所以存在一個定點到的距離為定值.

試題解析：

（1）設圓A的圓心A（a，b），由題意得：解得,

設圓A的方程為，將點代入得r＝2

∴圓A的方程為：      （4分）

（2）設，，

則

當且僅當即時取等號，∴的最小值為    （9分）

（3）由（1）得圓A的方程為：，圓B：，由題設得，即，

∴化簡得：

∴存在定點M()使得Q到M的距離為定值.    （14分）

考點：直線與圓的位置關系；圓關于點、直線對稱的圓方程；圓的標準方程; 平面向量數量積的運算．