Question

（2009•聊城二模）已知函數f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數．
（1）若函數f（x）在區間[1，+∞）內調遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值；
（3）求證：對于任意的n∈N*，且n＞1時，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

成立．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的導數f^′（x），由題意可知：當x≥1時，f^′（x）≥0恒成立，解出a的取值范圍即可．
（2）根據導函數及利用（1）需要對a進行分類討論即可．
（3）利用（1）的結論，只要令a=1，x=

n+1

n

即可．

解答：解：（1）∵函數f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數，
∴f′(x)=

1

x

-

1

ax2

=

x- 1 a

x2

．
∵函數f（x）在區間[1，+∞）內單調遞增，
∴當x≥1時，f^′（x）≥0恒成立，即

1

a

≤x（a＞0），x∈[1，+∞）恒成立?

1

a

≤[x]min，（a＞0）x∈[1，+∞）?

1

a

≤1（a＞0）．
解得a≥1．即為所求的取值范圍．
（2）（i）由（1）可知：當a≥1時，f（x）在區間[1，2]上單調遞增，
∴當x=1時，函數f（x）取得最小值，且f（1）=0．
（ii）當0＜a≤

1

2

時，

1

a

≥2，∴當x∈[1，2]時，f^′（x）≤0，∴函數f（x）在區間[1，2]上單調遞減，
∴當x=2時，函數f（x）取得最小值，且f（2）=ln2-

1

2a

．
（iii）當

1

2

＜a＜1時，1＜

1

a

＜2．
令f^′（x）=0，則x=

1

a

．
當1＜x＜

1

a

時，f^′（x）＜0；當

1

a

＜x＜2時，f^′（x）＞0．
∴當x=

1

a

時，函數f（x）取得極小值，因為在區間[1，2]內只有一個極小值，所以也即最小值，∴最小值為f(

1

a

)=1-

1

a

-lna．
（3）由（1）可知：令a=1，則函數f（x）=lnx+

1-x

x

在區間[1，+∞）上單調遞增．
再令x=

n+1

n

，f(1+

1

n

)＞f(1)，而f(1+

1

n

)=ln

n+1

n

-

1

n+1

，f（1）=0，
∴ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

．
∴lnn=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[lnn-ln（n-1）]＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即lnn＞

1

2

+

1

3

+…

1

n

．

點評：本題考查了利用導數求函數的單調區間、最值及證明不等式，充分理解導數的意義及掌握恰當分類討論思想和轉化思想是解題的關鍵．