Question

設的最大值為M。
（1）當時，求M的值。
（2）當取遍所有實數時，求M的最小值；
（以下結論可供參考：對于，當同號時取等號）
（3）對于第（2）小題中的，設數列滿足，求證：。

Answer 1

（1）   （2）  （3）見解析

（1）求導可得

當時取等號     3分
（2）
   5分

=6，
。
由（1）可知，當時，                 。
      7分
（3）證法一：（局部放縮法）因為，
所以
由于
   9分
所以不等式左邊


    11分
下證
，
顯然。即證。    12分
證法二：（數學歸納法）即證：當

下用數學歸納法證明：
①當時，左邊，顯然；
②假設時命題成立，即
  8分
當時，
左邊
（）

均值不等式

                   

        11分
下證：（*）
（*），
顯然。
所以命題對時成立。
綜上①②知不等式對一切成立。     12分