Question

設函數f_n（x）=-1+x+），證明：
（1）對每個n∈N₊，存在唯一的x_n，滿足f_n（x_n）=0；
（2）對于任意p∈N₊，由（1）中x_n構成數列{x_n}滿足0＜x_n-x_n+p＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得f′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．求得f_n（1）＞0，f_n（）＜0，再根據函數的零點的判定定理，可得要證的結論成立．
（2）由題意可得f_n+1（x_n）＞f_n（x_n）=f_n+1（x_n+1）=0，由 f_n+1（x） 在（0，+∞）上單調遞增，可得 x_n+1＜x_n，故x_n-x_n+p＞0．用 f_n（x）的解析式減去f_n+p （x_n+p）的
解析式，變形可得x_n-x_n+p=+，再進行放大，并裂項求和，可得它小于 ，綜上可得要證的結論成立．
解答：證明：（1）對每個n∈N₊，當x＞0時，由函數f_n（x）=-1+x+），可得
f′（x）=1+++…＞0，故函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．
由于f₁（x₁）=0，當n≥2時，f_n（1）=++…+＞0，即f_n（1）＞0．
又f_n（）=-1++[+++…+]≤-+•=-+×
=-•＜0，
根據函數的零點的判定定理，可得存在唯一的x_n，滿足f_n（x_n）=0．
（2）對于任意p∈N⁺，由（1）中x_n構成數列{x_n}，當x＞0時，∵f_n+1（x）=f_n（x）+＞f_n（x），
∴f_n+1（x_n）＞f_n（x_n）=f_n+1（x_n+1）=0．
由 f_n+1（x） 在（0，+∞）上單調遞增，可得 x_n+1＜x_n，即 x_n-x_n+1＞0，故數列{x_n}為減數列，即對任意的 n、p∈N₊，x_n-x_n+p＞0．
由于 f_n（x）=-1+x_n+++…+=0 ①，
f_n+p （x_n+p）=-1+x_n+p+++…++[++…+]②，
用①減去②并移項，利用 0＜x_n+p≤1，可得
x_n-x_n+p=+≤≤＜=＜．
綜上可得，對于任意p∈N₊，由（1）中x_n構成數列{x_n}滿足0＜x_n-x_n+p＜．
點評：本題主要考查函數的導數及應用，函數的零點的判定，等比數列求和以及用放縮法證明不等式，還考查推理以及運算求解能力，屬于難題．