Question

已知：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過點A（-a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

π

6

，原點到該直線的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F兩點，若

ED

=2

DF

，求直線EF的方程；
（3）是否存在實數k，直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點，以PQ為直徑的圓過點D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用兩點連線的斜率公式及點到直線的距離公式列出橢圓的三個參數a，b，c的關系，通過解方程求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程．
（2）設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯立得到關于y的二次方程，利用根與系數的關系及已知條件中的向量關系找到有關直線方程中的待定系數滿足的等式，解方程求出直線的方程．
（3）將條件以PQ為直徑的圓過點D（-1，0）轉化為PD⊥QD，設出直線的方程將直線方程與橢圓方程聯立，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率．

解答：解：（1）由

b

a

=

3

3

，

1

2

a•b=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，
得a=

3

，b=1，
所以橢圓方程是：

x2

3

+y2=1
（2）設EF：x=my-1（m＞0）
代入

x2

3

+y2=1，得（m²+3）y²-2my-2=0，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由

ED

=2

DF

，
得y₁=-2y₂．
由y1+y2=-y2=

2m

m2+3

，y1y2=-2y22=

-2

m2+3

得(-

2m

m2+3

)2=

1

m2+3

，
∴m=1，m=-1（舍去），
直線EF的方程為：x=y-1即x-y+1=0
（3）將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*）
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵PQ為直徑的圓過D（-1，0），
則PD⊥QD，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=

-12k+14

3k2+1

=0．
解得k=

7

6

，
此時（*）方程△＞0，
∴存在k=

7

6

，滿足題設條件．

點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的關系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯立得到二次方程，再利用根與系數的關系找突破口．