Question

（本題滿分15分）已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為,為橢圓的左頂點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知過點的直線與橢圓交于，兩點.

（ⅰ）若直線垂直于軸，求的大小;

（ⅱ）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，且.

由題意可知：，.           ………2分

所以.            

所以，橢圓的標準方程為.    ………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設.

（ⅰ）當直線垂直于軸時，直線的方程為.

由 解得：或

即（不妨設點在軸上方）.…………5分

則直線的斜率，直線的斜率.

因為 ，

所以 .

所以 .                  …………6分

（ⅱ）當直線與軸不垂直時，由題意可設直線的方程為.

由消去得：.

因為 點在橢圓的內部，顯然.

               ……………8分

因為 ，，，

所以

.

所以 .                           

所以 為直角三角形.             ………………11分

（III）假設存在直線使得為等腰三角形，則.

取的中點，連接，則.

記點為. 

另一方面，點的橫坐標，

所以 點的縱坐標.

所以

.

所以 與不垂直，矛盾.

所以 當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形.…………13分

【解析】略