Question

設f（x）=ax²+bx+c（a≠0)，若函數f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱.求證：f(x+)為偶函數.

Answer 1

證明略

方法一 （混合型分析法）
要證f(x+)為偶函數，只需證明其對稱軸為x=0.
即只需證--="0."
只需證a=-b.（中途結果）
由已知，拋物線f(x+1)的對稱軸x=-1與拋物線的對稱軸x=關于y軸對稱.
∴-1=-.
于是得a=-b（中途結果）.
∴f(x+)為偶函數.
方法二 （混合型分析法)
記F（x）=f(x+)，
欲證F（x）為偶函數，只需證F（-x）=F（x），
即只需證f(-x+)=f(x+)，（中途結果）.
由已知，函數f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱，而函數f(x)與f(-x)的圖象也是關于y軸對稱的，
∴f（-x）=f（x+1）.
于是有f (-x+)="f" [-(x-)]
="f" [(x-)+1]="f" (x+)（中途結果）.
∴f(x+)為偶函數.