Question

已知函數f（x）在R上可導，函數F（x）=f（x²-4）+f（4-x²）給出以下四個命題：（1）F（0）=0（2）F′（±2）=0（3）F′（0）=0（4）F′（x）的圖象關于原點對稱，其中正確的命題序號有________．

Answer 1

解：F（0）=f（-4）+f（4），無法算出結果，故無法判斷F（0）=0是否成立，（1）不正確；
∵F′（x）=2xf′（x²-4）-2xf′（4-x²），∴F′（2）=4f′（0）-4f′（0）=0，F′（-2）=-4f′（0）+4f′（0）=0，
故（2）正確；
F′（0）=0•f′（-4）-0•f′（4）=0，故（3）正確；
∵F′（-x）=-2xf′（x²-4）+2xf′（4-x²）=-[2xf′（x²-4）-2xf′（4-x²）]=-F′（x），
∴F′（x）為奇函數，故F′（x）的圖象關于原點對稱，（4）正確；
故答案為：（2）（3）（4）．
分析：F（0）=f（-4）=f（4）≠0，故（1）錯誤；根據復合函數的求導法則求出F′（x），易求F′（±2）=0，F′（0）=0，從而可判斷（2）（3）的正確性；根據奇函數定義可判斷F′（x）為奇函數，由此可判斷（4）的正確性．
點評：本題考查導數的運算及抽象函數，考查函數奇偶性的判斷，考查學生運用知識解決問題的能力．