Question

已知圓C的圓心在直線y=2x上，且與直線l：x+y+1=0相切于點P（-1，0）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），點B是圓C上的動點，求線段AB中點M的軌跡方程，并說明表示什么曲線．

Answer 1

分析：（I）根據題意，可得圓心C（a，b）滿足b=a+1且b=2a，解出a=1且b=2．直線l與圓相切，由點到直線的距離公式算出半徑r=2

2

，從而可得圓C的方程；
（II）設M（x，y）、B（x₀，y₀），由中點坐標公式算出x₀=2x-1且y₀=2y，代入圓C方程化簡即可得到M的軌跡，表示以（1，1）為圓心，

2

為半徑的圓．

解答：解：（Ⅰ）設圓心C（a，b）半徑為r，則有b=2a，…（1分）
又∵C落在過P且垂直于l的直線y=x+1上，…（3分）
∴b=a+1，解得a=1，b=2，從而r=2

2

…（5分）
∴圓C方程為：（x-1）²+（y-2）²=8…（6分）
（Ⅱ）設M（x，y），B（x₀，y₀），則有

1+x0

2

=x，

y0

2

=y，…（8分）
解得x₀=2x-1，y₀=2y，代入圓C方程得：（2x-2）²+（2y-2）²=8，…（10分）
化簡得（x-1）²+（y-1）²=2…（11分）
表示以（1，1）為圓心，

2

為半徑的圓．…（12分）

點評：本題給出圓C滿足的條件，求圓的方程并依此求動點M的軌跡方程．著重考查了軌跡方程的求法、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．