Question

已知圓C的圓心在直線l₁：x-y-1=0上，與直線l₂：4x+3y+14=0相切，且截得直線l₃：3x+4y+10=0所得弦長為6，求圓C的方程．

Answer 1

分析：由題意設圓心為（a，b），半徑為r，利用圓與直線4x+3y+14=0相切，在3x+4y+10=0上截得弦長為6，列出方程，即可求出a，b，從而可得到圓的方程．

解答：解：設圓心C（a，b），半徑為r．
則∵圓C的圓心在直線l₁：x-y-1=0上，
∴a-b-1=0，
∵圓C與直線l₂：4x+3y+14=0相切
∴r=

|4a+3b+14|

5

，
∵圓C截得直線l₃：3x+4y+10=0所得弦長為6
∴

|3a+4b+10|

5

=

r2-9

．
所以

(4a+3b+14)2

25

-

(3a+4b+10)2

25

=9．
即

(a-b+4)(7a+7b+24)

25

=9．
因為a-b=1，
所以

5(7a+7b+24)

25

=9，
∴a+b=3．
由

a-b=1 a+b=3

解之得

a=2 b=1

故所求圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=25．

點評：本題是基礎題，考查直線與圓的位置關系，正確應用直線與圓相切，相交的關系是解題的關鍵，考查計算能力．