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已知f(x)=
ax
ax+
a
．
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)=？
（2）是否存在正整數a，使
a
f(n)
f(1-n)
＞n2對一切n∈N都成立．
分析：（1）根據已知中f(x)=
ax
ax+
a
，我們易根據指數的運算性質對f（x）+f（1-x）進行化簡，進而求出f（x）+f（1-x）的值，然后利用倒序相加法，即可求出f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)的值．
（2）根據（1）有結論，我們易將已知中的不等式進行化簡，然后利用二次函數的性質及對數函數的性質，即可得到答案．
解答：解：（1）f(x)=
ax
ax+
a

∴f（x）+f（1-x）=
ax
ax+
a
+
a1-x
a(1-x)+
a
=1
∴2[f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)]=9
∴f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)=
9
2

（2）由（1）得
f（1-n）=1-f（n）=
a 
an+
a

∴
a
f(n)
f(1-n)
=
a
•
an
an+
a
a 
an+
a
=an
則原不等式可化為：an＞n2
∵當a≥3時，an＞n2恒成立，
故存在正整數a≥3，使
a
f(n)
f(1-n)
＞n2對一切n∈N都成立．
點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用、指數的運算性質，其中根據已知條件求出f（x）+f（1-x）=1是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
3-ax
a-1
（a≠1）．
（1）若a＞0，則f（x）的定義域是
 
；
（2）若f（x）在區間（0，1]上是減函數，則實數a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1)．
（1）若a＜0，則f（x）的定義域為
[
3
a
，+∞)
[
3
a
，+∞)
；
（2）若f（x）在區間（0，1]上是增函數，則實數a的取值范圍為
（0，1）
（0，1）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
axa+x
(x≠-a)，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在數列{an}中，a1=1，an+1=f(an)，(n∈N*)，計算a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；
（Ⅲ）證明（Ⅱ）中的猜想．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1)，若f（x）在區間（0，1]上是減函數，則實數a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2-ax
a-1
（a≠1）．
（1）若a＞0，則f（x）的定義域為
 
；
（2）若f（x）在區間（0，1]上是減函數，則實數a的取值范圍是
 
．

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