Question

已知函數f(x)=

3-ax

a-1

（a≠1）．
（1）若a＞0，則f（x）的定義域是

 

；
（2）若f（x）在區間（0，1]上是減函數，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）由當a＞0且a≠1，再由負數不能開偶次方根，有3-ax≥0求解．
（2）先看分母，當a-1＞0，即a＞1時，要使“f（x）在（0，1]上是減函數”，則分子t=

3-ax

是減函數，且3-a×1≥0成立；當a-1＜0，即a＜1時，要“使f（x）在（0，1]上是減函數”則分子t=

3-ax

是增函數，且-a＞0成立，兩種情況的結果最后取并集．

解答：解：（1）當a＞0且a≠1時，由3-ax≥0得x≤

3

a

，
即此時函數f（x）的定義域是（-∞，

3

a

]．
（2）當a-1＞0，即a＞1時，要使f（x）在（0，1]上是減函數，則需3-a×1≥0，此時1＜a≤3．
當a-1＜0，即a＜1時，要使f（x）在（0，1]上是減函數，則需-a＞0，此時a＜0．
綜上所述，所求實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，3]．
故答案為：（1）（-∞，

3

a

]；（2）（-∞，0）∪（1，3]

點評：本題主要考查函數的定義域及其單調性的應用，在解題時，要注意復合函數性質的應用及考慮定義域．